Axiomatization, it seems to me, is a shell game of sorts where intuition is concealed under the veil of purportedly non-intuitive "logical" axioms, an enterprise with which I now (foolishly) regret not having spent, (?wasted) my life. "Mathematics is the queen of the sciences and number theory is the queen of mathematics." (Gauß)  "Die Mathematik hielt Gauss um seine eigenen Worte zu gebrauchen, für die Königin der Wissenschaften und die Arithmetik für die Königin der Mathematik." überliefert in Wolfgang Sartorius von Waltershausen, Gauss zum Gedächtnis.

Manchmal dienen  dichterische Aussagen wie etwa "Die Mathematik hielt Gauss um seine eigenen Worte zu gebrauchen, für die Königin der Wissenschaften und die Arithmetik für die Königin der Mathematik." als verlässliche Ausgangspunkte für das Denken, für sachliche Betrachtungen.  Vorerst gälte es die Frage zu beantworten "Was ist Mathematik?" oder in Courant's Übersetzung "What is mathematics?" In welcher Hinsicht, frage ich nun, ist Mathematik vorbildlich, vermöchte Mathematik als Muster für die ihr als Königin untertanen gemeinen Wissenschaften dienen?

Mathematik ist eine geistige Betätigung, welche wie all anderen geistigen Betätigungen zugleich individuell und gemeinsam, einzeln und gesellschaftlich ist. Aus dieser unleugbaren unausweichlichen Gegebenheit ergibt sich die erste und vielleicht wesentlichste Folge, nämlich dass die Arithmetik eine zwingende Unanimität, ein unverbrüchliches gedankliches Einverständnis nach sich zieht.  Dass die Zahlen Eins plus Eins die Zahl Zwei ausmachen wäre doch für jedermann zwingend, oder auch nicht? - wie etwa wenn aus den Zahlen Eins plus Eins, sich unerwartet die Zahlen Eins, Null zu ergeben scheinen, weil man sich gewoehnt hat mit Basis 10 zu rechnen, (Grundzahl 10), und nun, stattdessen, mit Basis 2 rechnet.  Die Unstimmigkeit aber wird gelöscht durch Erweiterung, oder sei es Vertiefung der axiomatischen Bestimmtheit, indem man eine Umwandlung des dem Gemüt so vertrauten Vorgang des Zählens, 1,2,3,4,5,...  erzwingt. In ähnlicher Weise werden andere Unstimmigkeiten behoben.  Tatsächlich, indeed, die erzwungene Behebung von Unstimmigkeiten durch formelle Beweisführung (proof) betrachtet man als Grundlage (foundation) der Mathematik überhaupt.

In der Physik, in der Chemie, in der Biologie waltet eine dem Einzelnen erforschbare und erlebbare Außenwelt welche jeweils auf die verschiedenen einzelnen beteiligten Gemüter wirkt und diese assimilierend verwandelt. In der Mathematik, hingegen gibt es keine von der Gesellschaft, keine vom gemeinsamen Verständnis unabhängig bestehende Außenwelt. Mein primäres urgründliches Erfassen mathematischer "Wahrheiten", die Gültigkeit mathematischer Gewissheiten, die Wirksamkeit mathematischen Zwanges, entspringen ausschließlich gesellschaftlicher Übereinstimmung, beruhen auf gesellschaftlichem Konsens.

Mein primäres urgründliches Erfassen der Sternenkunde besteht im Blick in den bestirnten Himmel; Mein primäres urgründliches Erfassen der Wetterkunde besteht im Blick in den wolkenlosen Himmel oder im Vernehmen von Regnen und Blitzen des Gewitters.  Mein primäres urgründliches Erfassen der Schwerkraft besteht im Blick auf den fallenden Apfel, oder im Gefühl der schmerzhafte Spannung des ermüdeten Armes womit ich den Zentner Kartoffeln zu bewältigen versuche.